Drie verschillende punten komen in dezelfde functie terecht en komen er identiek uit: (-1/4, 0, 0). De formule beslaat een handvol regels; het probleem dat ervoor zorgt dat het instort, was al sinds 1939 open. De wiskundige Levent Alpöge publiceerde het en schreef de ontdekking toe aan Claude Fable 5, het kunstmatige intelligentiemodel van Anthropic.
Het Jacobiaanse vermoeden had 87 jaar van pogingen, vermeende bewijzen en verschillende mislukte berekeningen weerstaan. Fabel 5 heeft een tegenvoorbeeld gevonden: een functie die de voorwaarden respecteert die door het vermoeden zijn voorspeld en precies het resultaat oplevert dat het volgens datzelfde vermoeden niet had moeten opleveren.
Zeggen dat AI het probleem heeft ‘opgelost’ geeft een idee. Het meest wiskundig nauwkeurige werkwoord wordt weerlegd. In feite is één enkel geval dat dit tegenspreekt voldoende om een vermoeden te ontkrachten. Fabel 5 vond het in een driedimensionale ruimte, waardoor de hoger-dimensionale versie ook vals werd. Degene met twee variabelen blijft zich echter verzetten.
Een functie waar geen weg meer terug is
Een functie kan worden voorgesteld als een wiskundige machine: deze ontvangt een of meer getallen, voert enkele bewerkingen uit en retourneert een resultaat. In het geval van het Jacobiaanse vermoeden komen hele reeksen getallen binnen en worden deze geretourneerd.
Een functie is omkeerbaar als we, als we het resultaat kennen, zonder twijfel terug kunnen gaan naar het startpunt. Als twee verschillende inputs dezelfde output produceren, splitst de terugweg zich: het wordt onmogelijk om te weten welke van de twee de originele was.
Fabel 5 vond er zelfs drie:
F(0, 0, -1/4) = F(1, -3/2, 13/2) = F(-1, 3/2, 13/2) = (-1/4, 0, 0).
Drie verschillende startpunten eindigen dus op hetzelfde punt. Dit is voldoende om vast te stellen dat de functie niet inverteerbaar is. Het moeilijkste was uiteraard het vinden van precies die functie uit een enorm aantal mogelijkheden.
Omdat het vermoeden plausibel leek
Het vermoeden werd in 1939 geformuleerd door de Duitse wiskundige Ott-Heinrich Keller. Het gaat om polynomiale functies, functies die zijn opgebouwd met behulp van optellingen, aftrekkingen, vermenigvuldigingen en gehele machten.
Om te bestuderen hoe deze functies de ruimte transformeren, gebruiken wiskundigen de determinant van de Jacobiaanse matrix. De naam lijkt bedoeld om iedereen zonder diploma wiskunde af te schrikken, maar het basisidee is eenvoudiger: je kunt ermee controleren of de transformatie in de directe omgeving van elk punt niet verschillende posities samendrukt.
In de functie gevonden door Fabel 5 is de Jacobiaanse determinant altijd -2. De transformatie werkt dus goed als we er een klein deel van observeren. Als je het echter volledig bekijkt, worden drie punten op afstand van elkaar naar dezelfde plaats gestuurd.
Keller had de hypothese geopperd dat een constante determinant die niet nul is, de werking van de inversie op de gehele functie garandeerde. Het tegenvoorbeeld laat zien dat lokale controle niet genoeg is: van dichtbij ziet elk stuk er prima uit, terwijl de volledige kaart meerdere wegen naar dezelfde bestemming leidt.
De vraag werd zo belangrijk gevonden dat de wiskundige Stephen Smale, winnaar van de Fields Medal, hem in 1998 opnam als een van de grote wiskundige problemen die voor de nieuwe eeuw werden voorgesteld.
Het resultaat kan worden geverifieerd, het werk van de AI veel minder
Alpöge publiceerde het tegenvoorbeeld over X, waardoor andere wiskundigen zowel de waarde van de determinant als de drie punten met dezelfde uitkomst konden controleren. Terence Tao wijdde vervolgens een lange wiskundige analyse aan het resultaat, waarbij hij ook de geometrische structuur ervan reconstrueerde.
Openbare materialen maken het daarom mogelijk om de formule te verifiëren. Ze zeggen veel minder over hoe het werd verkregen. Het volledige gesprek met Fable 5, de gebruikte aanwijzingen, de benodigde tijd of eventuele computerhulpmiddelen die tijdens het onderzoek zijn gebruikt, zijn niet vrijgegeven.
De toeschrijving van de ontdekking aan het model komt van Alpöge en werd opgenomen in de eerste wiskundige werken gewijd aan het tegenvoorbeeld. Zonder volledige documentatie van het proces is het echter niet mogelijk om precies te meten hoeveel de AI autonoom deed en hoeveel deze afhankelijk was van de begeleiding van de wiskundige. Het resultaat geldt; achter de schermen blijft gesloten.
De casus toont echter een nuttig vermogen voor wiskundig onderzoek: het verkennen van vele mogelijke oplossingen totdat het zeldzame object wordt gevonden dat in tegenspraak is met een regel die als plausibel wordt beschouwd. Honderden demonstratiepagina’s waren hier niet nodig. Het diende een specifieke functie. Ze arriveerde met drie verschillende punten en slechts één uitgang.
De algemene versie van het Jacobiaanse vermoeden is daarom vals vanaf de derde dimensie en naar boven. Het geval met twee variabelen, het kleinere en hardnekkiger geval, staat nog steeds op het bord.
