In de woestijn van New Mexico had Enrico Fermi op 16 juli 1945 een paar stukjes papier in zijn hand. Een paar kilometer verderop was zojuist de Trinity Test ontploft, de eerste nucleaire ontploffing in de geschiedenis. Fermi, een Italiaanse natuurkundige en Nobelprijswinnaar voor natuurkunde in 1938, maakte een bijna banaal gebaar: hij liet de stukjes papier vallen toen de schokgolf op hem afkwam en observeerde hoe ver ze door de lucht werden verplaatst.
Uit die beweging haalde hij een schatting van de kracht van de explosie: ongeveer 10 kiloton TNT. Eén kiloton komt overeen met de energie die vrijkomt bij duizend ton TNT. Daaropvolgende reconstructies hebben de werkelijke waarde van de gebeurtenis hoger gelegd, vaak rond de 20-25 kiloton, met een radiochemische schatting die in de literatuur wordt aangegeven op ongeveer 25 ± 2 kiloton. Zijn beoordeling was laag, zeker. Het bleef in dezelfde orde van grootte, verkregen zonder geavanceerde instrumenten, voor iets dat niemand ooit eerder had gezien.
Uit dit vermogen ontstaat wat we nu Fermi-problemen noemen. Dit zijn vragen die onmogelijk lijken: hoeveel pianostemmers werken er in Chicago, hoeveel golfballen passen er in een schoolbus, hoeveel kopjes water bevatten een Olympisch zwembad, hoeveel smartphones zijn er ingeschakeld in de wereld. Op het eerste gezicht ontbreekt alles. Vervolgens neem je een stuk papier, verdeelt de vraag in kleinere delen, maakt weloverwogen gissingen en komt tot een getal dat solide genoeg is om jezelf te oriënteren.
Een goede schatting is meer waard dan een perfect getal
Een Fermi-probleem gedijt bij benaderingen. Het exacte antwoord is tot op zekere hoogte interessant. Waar het om gaat is de manier waarop de redenering stap voor stap wordt opgebouwd. Je gaat uit van wat je weet, telt op wat je kunt schatten, rondt het af en kijkt dan met een beetje wantrouwen naar het resultaat.
Deeltjesfysicus Stefan Funk, die aan Stanford een cursus over ‘back-of-the-envelope’-berekeningen gaf, benadrukt precies dat: een schatting die een factor twee of drie afwijkt, is nog steeds acceptabel. Een schatting die twintig ordes van grootte buiten de schaal ligt, geeft aan dat de logische keten is verbroken.
Neem het geval van pianostemmers. Je kunt uitgaan van de bevolking van Chicago, je voorstellen hoeveel gezinnen een piano hebben, scholen, theaters en oefenruimtes erbij optellen, inschatten hoe vaak een instrument wordt gestemd en hoeveel bezoeken een stemmer in een jaar kan afleggen. Aan het einde verschijnt een nummer. Onvolmaakt misschien. Wel handig omdat het laat zien of we in de juiste orde van grootte zitten.
Het bekende voorbeeld is ook gespreksmateriaal geworden bij techbedrijven. Wired gebruikte het om open vragen van het Chicago-pianostemmertype uit te leggen: ze zoeken niet naar een uit het hoofd geleerd antwoord, ze zoeken naar een geest die in staat is om door onzekerheid heen te bewegen.
Hetzelfde geldt voor een zwembad van olympisch formaat. Er worden eenvoudige metingen gedaan: 50 meter lang, 25 meter breed, gemiddeld ongeveer 2 meter diep. Het volume bereikt 2.500 kubieke meter. Elke kubieke meter bevat 1.000 liter, dus we zitten op 2,5 miljoen liter. Omgerekend naar kopjes komt het resultaat dichter bij de 10 miljoen kopjes water. De werkelijke diepte kan veranderen, de cups hebben verschillende maten, het aantal fluctueert. De redenering houdt echter stand.
De wiskunde die je nodig hebt als er gegevens ontbreken
Fermi-problemen brengen de waardigheid weer bij benadering. In een wereld vol cijfers die met een enorm vertrouwen worden uitgesproken, leren ze ons de vraag te stellen of een getal in verhouding staat tot de werkelijkheid. Een hoeveelheid kan gigantisch lijken en toch klein zijn vergeleken met het fenomeen waar het over gaat. Een percentage lijkt misschien bescheiden, maar laat in plaats daarvan een enorme verschuiving zien.
Om deze reden gaan zij ook het onderwijs in. De National Council of Teachers of Mathematics, een van de belangrijkste Amerikaanse verenigingen die zich bezighouden met wiskundeonderwijs, presenteert ze als nuttige hulpmiddelen voor het ontwikkelen van kwantitatief denken, probleemoplossing en verbindingen tussen verschillende disciplines. Ze werken omdat ze je dwingen na te denken voordat je op zoek gaat naar een formule.
In de klas kan de vraag hoeveel stappen er nodig zijn om Italië van noord naar zuid te doorkruisen een oefening worden in afstanden, maateenheden, gemiddelde staplengte en het controleren van het resultaat. Als je vraagt hoeveel pizza’s een stad in een jaar eet, levert dat bevolkingsaantal, gewoonten, consumptiefrequentie, commerciële activiteiten en foutmarges op. De vraag lijkt licht. De hersenen daarentegen werken serieus.
Fermi blijft de perfecte figuur om dit allemaal te vertellen. Geboren in Rome in 1901, protagonist van de Italiaanse natuurkunde van via Panisperna, en vervolgens verhuisd naar de Verenigde Staten, leidde hij in 1942 de groep die de eerste zichzelf onderhoudende nucleaire kettingreactie tot stand bracht die door de mens werd gecreëerd, onder de tribunes van het Stagg Field van de Universiteit van Chicago, binnen de structuur die de geschiedenis inging als Chicago Pile-1.
Zijn vaardigheid in het schatten spreekt van een zeer draagbare vorm van intelligentie. Je hebt geen laboratorium nodig. Je moet leren leven met onvolledige informatie, een redelijke gok van een fantasie onderscheiden en controleren of het resultaat op de echte wereld lijkt.
Hoe de Fermi-methode te gebruiken
De eerste stap is schrijven. Het hoofd slaat stappen over, haalt getallen door elkaar, overtuigt zichzelf ervan dat het gegevens onthoudt die het nooit kende. Een blad dwingt je om eerlijk te blijven. De vraag wordt opgeschreven en vervolgens wordt een reeks eenvoudige hypothesen geconstrueerd: “laten we twee mensen per gezin beschouwen”, “laten we ons één stemming per jaar voorstellen”, “laten we een gemiddelde diepte van twee meter gebruiken”.
De tweede stap is het afronden. Bij Fermi-problemen helpen ronde getallen. Drie miljoen worden beter afgehandeld dan 2.746.388. Vijfhonderd interventies per jaar worden beter weergegeven dan 487. Tien miljoen kopjes blijven nuttiger dan een resultaat vol decimalen.
De derde stap is het controleren van de schaal. Als een grote stad, volgens onze telling, twee pianostemmers of tweehonderdduizend produceert, moeten we teruggaan. Als een zwembad een waterfles of een oceaan bevat, ligt de fout in de overgang tussen meeteenheden. Deze laatste controle is net zo waardevol als een berekening, omdat je hierdoor leert absurde getallen te herkennen voordat ze overtuigend worden.
De charme van Fermi’s problemen ligt daar: ze leren ons fouten te maken op een beredeneerde, transparante en corrigeerbare manier. Twee mensen kunnen tot verschillende resultaten komen en hypotheses bespreken, zonder ruzie te maken over het uiteindelijke getal. Het is een oefening in mentale hygiëne. Niet erg spectaculair, erg handig.
Fermi deed het voor een atoomexplosie, waarbij stukjes papier in de woestijnlucht vielen. We kunnen het doen voor een snel voorgelezen cijfer, een technologische belofte, een publieke uitgave, een vreemde vraag tijdens het diner. Een pen, een stuk papier, wat ronde cijfers. Vaak is het genoeg om orde in de chaos te brengen.
Mogelijk bent u ook geïnteresseerd in:
