Op een wit vel zijn slechts een paar puntjes voldoende om in een van de meest hardnekkige problemen van de moderne meetkunde terecht te komen. Je neemt een aantal punten, rangschikt ze in het vlak en telt dan hoeveel paren zich op precies dezelfde afstand bevinden, bijvoorbeeld op afstand 1. Zo gezegd lijkt het een oefening voor een vierkant notitieboekje. In plaats daarvan is het een vraag die wiskundigen al bijna tachtig jaar dwingt om rasters, schattingen, constructies en intuïties opnieuw te bekijken.
Nu is OpenAI in dat verhaal beland. Het bedrijf heeft aangekondigd dat zijn interne redeneermodel een vermoeden heeft weerlegd dat verband houdt met het probleem van de eenheidsafstanden in het vliegtuig, geformuleerd door Paul Erdős in 1946. Het nieuws moet met chirurgische precisie worden opgevat: het hele probleem blijft open. Wat valt is een heel belangrijk vermoeden over hoe snel het maximale aantal puntenparen op dezelfde afstand kan groeien. OpenAI beweert dat het model een nieuwe oneindige familie van configuraties heeft gevonden die in staat zijn om beter te presteren dan wat tientallen jaren de natuurlijke limiet leek van op vierkante rasters gebaseerde constructies. Het bewijs, zoals meegedeeld door het bedrijf, werd gecontroleerd door externe wiskundigen.
Erdős-stippen
Paul Erdős was een van die wiskundigen die in staat waren om overal problemen achter te laten, als intelligente kruimels. Sommige zijn eenvoudig om over te praten, maar heel moeilijk om af te sluiten. Het eenheidsafstandsprobleem behoort tot deze categorie: gegeven een reeks van n punten in het vlak, hoeveel paren kunnen zich precies op afstand 1 bevinden?
©OpenAI
Een rij stippen geeft een bijna triviale groei. Een vierkant raster werkt het beste. Lange tijd was het dominante idee dit: rasters, of zeer vergelijkbare constructies, waren in wezen het best mogelijke. Erdős had vermoed dat het maximale aantal paren op eenheidsafstand slechts iets sneller groeide dan het aantal punten, met een formule die technisch wordt aangegeven als n¹⁺ᵒ⁽¹⁾, waarbij die kleine extra term de neiging heeft te verdwijnen als n erg groot wordt.
Het model van OpenAI heeft een ander pad gevonden. Voor oneindige waarden van n levert de nieuwe constructie minimaal n¹⁺δ paren op afstand 1 op, waarbij δ groter is dan nul. Vertaald zonder in kasten uit te breken: het aantal mogelijke verbindingen tussen punten groeit robuuster dan het vermoeden suggereerde. Het oude idee van ‘weinig meer dan lineair’ is voorbij.
Hier komt het meest interessante deel, zelfs voor degenen die slechts een traumatische herinnering aan de middelbare school hebben vanuit de geavanceerde wiskunde. De oplossing komt van instrumenten die ver verwijderd zijn van het beeld van het vel met de stippen. OpenAI spreekt over algebraïsche getaltheorie, getalvelden, klassentorens en Golod-Shafarevich-theorie. Technische zaken, zeker. Maar de betekenis is vrij duidelijk: om een zeer concrete geometrische vraag te beantwoorden, verdiepte het model zich in een diep gebied van de algebra, waar uitbreidingen van gehele getallen en numerieke structuren worden bestudeerd die veel rijker zijn dan de getallen die we dagelijks gebruiken.
De proef van de mens
Het beslissende deel, om het gebruikelijke ‘AI heeft de wiskunde opgelost’-circus te vermijden, ligt in de verificatie. Op arXiv is werk verschenen van vooraanstaande wiskundigen, waaronder Noga Alon, Thomas F. Bloom, WT Gowers, Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang en Melanie Matchett Wood. Het artikel presenteert een korte, door mensen verteerde en geverifieerde versie van het tegenvoorbeeld gegenereerd door OpenAI. De auteurs leggen ook uit dat het argument gebruik maakt van ideeën die al aanwezig zijn, althans achteraf gezien, in de werken van Ellenberg-Venkatesh, Golod-Shafarevich en Hajir-Maire-Ramakrishna.
Deze stap is van groot belang. AI heeft een pad aangegeven, een bewijs gebouwd en tools verbonden die veel wiskundigen mogelijk als zijdelings van het probleem hebben beschouwd. Toen kwamen de mensen: ze lazen, controleerden, ruimden op, vereenvoudigden en verplaatsten de ontdekking binnen het onderzoekslandschap. Dit is hoe wiskunde werkt. Een bewijs leeft als het de toetsing doorstaat, als andere geesten er doorheen kunnen lopen zonder dat er een stukje van af valt.
In de reflecties die samen met het werk worden gepubliceerd, komt ook een bijna psychologisch element naar voren. Het model zou veel nadruk hebben gelegd op de poging om een tegenvoorbeeld te construeren, terwijl een groot deel van de gemeenschap geneigd was te geloven dat het vermoeden waar was. Met andere woorden, hij zocht naar een scheur waar velen de muur zouden blijven versterken. Dit maakt AI niet tot een magische geest. Het maakt de manier interessant om enorme ruimtes van mogelijkheden te verkennen, zelfs die welke een menselijke onderzoeker snel terzijde kan schuiven vanwege ervaring, gewoonte of gezond verstand.
Het probleem blijft leven
Een andere wiskundige, Will Sawin, heeft het resultaat al verfijnd. In zijn werk laat hij zien dat er sets van n punten in het vlak bestaan, met n willekeurig groot, die meer dan n¹·⁰¹⁴ puntenparen bevatten die precies gescheiden zijn door afstand 1. Dit maakt de positieve exponent expliciet die in de oorspronkelijke OpenAI-test aanwezig was zonder een precieze numerieke waarde.
De race gaat echter door. De bekendste bovengrens blijft veel hoger: in technische termen van de orde van n⁴ᐟ³, volgens het klassieke resultaat van Spencer, Szemerédi en Trotter. Tussen de nieuwe ondergrens en de bovengrens blijft er een enorme ruimte over, vol met wiskunde die nog moet worden gedaan.
De ontdekking van OpenAI is daarom geldig voor wat het opent. Het laat zien dat een overtuiging die tientallen jaren heeft standgehouden, kan worden ondermijnd door een onverwachte constructie. Het laat zien dat een AI-model iets substantieels kan bijdragen aan theoretisch onderzoek dan een samenvatting of schrijfhulp. En het toont ook het tegenovergestelde van het meest luie verhaal: zonder wiskundigen die in staat zijn het resultaat te verifiëren, interpreteren en verbeteren, zou dat bewijs een machine blijven die in een afgesloten ruimte aanstaat.
Voorlopig blijft het eenvoudigste beeld over: stippen op een vel papier, onzichtbare lijnen tussen paren op dezelfde afstand, een raster dat voldoende leek en dan niet meer voldoende is. Wiskunde doet dit soms. Het lijkt alsof het tachtig jaar op een pagina blijft staan, en dan verplaatst iemand een punt. Deze keer deed een machine het. De mens controleerde het ontwerp.
Mogelijk bent u ook geïnteresseerd in:
